• 抽样误差：
  • 概念：由于个体差异导致的样本统计量与总体参数之间的差异。
  • 均数的标准误：反映样本均数之间变异的标准差，计算公式为 $ S_{\bar{X}} = \frac{S}{\sqrt{n}} $。
  • 率的标准误：样本率的标准差，计算公式为 $ S_{P} = \sqrt{\frac{P(1-P)}{n}} $。

参数估计

「参数估计」指由样本统计量估计总体参数。常用的估计方式包括「点估计」和「区间估计」。

• 点估计：用相应样本统计量简单直接的作为总体参数的估计值，如用$\bar X$估计$\mu$，用$S$估计$\sigma$，用$p$估计$\pi$。
• 区间估计：按预先给定的概率$(1-\alpha)$，计算一个范围，这个范围包括未知的总体参数。
  • $(1-\alpha)$：置信度（通常取0.95或0.99）
  • 这个范围：置信区间（CI）

置信区间

• 总体均数的区间估计：
  • 当总体标准差σ已知时，使用标准正态分布计算可信区间。
  • 当总体标准差σ未知时，使用t分布计算可信区间，计算公式为 $ \bar{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \times SE_{\bar{X}} $。

1. $\sigma$已知

如果$X$~$N(\mu,\sigma^2)$，则

$z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n}$符合标准正态分布。

即$z$~$N(0,1)$

则$z$的95%置信区间为$(-1.96,1.96)$，即$P(-1.96 \leq z \leq 1.96)=0.96$。

从而得到$X$的95%置信区间：$(\bar X - 1.96\sigma_{\bar X},\bar X + 1.96\sigma_{\bar X})$

2. $\sigma$未知

此时可以用样本标准差$S$代替$\sigma$，此时

$z = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt n}$符合「t分布」。

则$z$的95%置信区间为$(-t_{\alpha/2, v},t_{\alpha/2, v})$，即$P(-t_{\alpha/2, v} \leq z \leq t_{\alpha/2, v})=0.96$。

从而得到$X$的95%置信区间：$(\bar X - t_{\alpha/2, v}\sigma_{\bar X},\bar X + t_{\alpha/2, v}\sigma_{\bar X})$

在大样本情况下（$n > 50$），t分布逼近标准正态分布。可以直接按照正态分布计算。

假设检验

从总体中随机抽样，由样本信息推断总体特征，除前面所讲的参数估计方法外，在实际应用中还会遇到这样的问题：「某一样本均数是否来自于某已知数的总体？两个不同样本均数是否来自均数不相等的总体？」等等。要回答这类问题，除可用前面参数估计的方法外，更多的是用统计推断的另一方面——假设检验 (Hypothesis test)。

「假设检验（hypothesis test）」亦称「显著性检验（significant test）」，目的是定性比较总体参数之间有无差别或总体分布是否相同。

主要做法是假设样本来自参数相等的同一个总体，再推断是否可以猫很小的风险拒绝这一假设。

主要利用小概率和反证法思想。

基本步骤

1. 建立假设和确定检验水准

• 有两种假设：

  1. $H_0$ - 原假设，也称为无效假设或零假设。
     $H_0:\mu = \mu_0$

  2. $H_1$ - 备择假设，也成为对立假设。是与$H_0$互斥的假设（也就是在$H_0$被拒绝的情况下而接受的假设）。
     $H_0:\mu = \mu_0$

建立两个检验假设的同时，还必须给出检验水准。「检验水准」亦称「显著性水平」，用「$\alpha$」表示，是预先规定的一个小概率值，一般取「$\alpha = 0.05$」——如果真实情况是$H_0$成立，则拒绝$H_0$的概率不超过$0.05$。

2. 选择检验方法和计算检验统计量

常用的检验方法包括t检验、z检验、F检验、卡方检验等。

3. 根据$P$值做出统计推断

确定$P$值，需要先按前述$\alpha$水准查$t$界值表，得到检验用的临界值$t_{\alpha/2,v}$，然后将算得的$t$统计量与$t_{\alpha/2,v}$比较，$t$统计量所对应的尾部概率称为$P$值，概率$\alpha$所对应的区域称为拒绝域，$1-\alpha$为接受域。

假设检验中的两类错误

• Ⅰ类错误：拒绝实际上成立的H0，其概率的最大值为α。
• Ⅱ类错误：不拒绝实际上不成立的H0，当样本含量一定时，给定检验水准α值越小，出现Ⅱ类错误的概率越大。

假设检验与区间估计的区别

• 假设检验：对两总体关系的一个定性决策，用于推断总体均数间是否不同。
• 区间估计：对参数关系的定量概率描述，用于推断总体均数的具体数量范围，同时提示差别是否具有实际意义。